七桥问题谜底图解 一笔划

18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸保持，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥漫步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最初仍回到起始地点。那就是七桥问题，一个闻名 的图论问题。 那个问题看起来似乎不难，但人们始末没有能找到谜底，最初问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明 了如许的走法不存在。欧拉是如许处理问题的：既然陆地是桥梁的毗连地点，无妨把图中被河离隔的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表达 成7条毗连那4个点的线，如图2所示。 于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔划问题了。欧拉重视 到，每个点假设 有进往 的边就必需有出来的边，从而每个点毗连的边数必需有偶数个才气完成一笔划。图3的每个点都毗连着奇数条边，因而不成能一笔划出，那就阐明 不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的起头，同时也为拓扑学的研究供给了一个初等的例子。

七桥连线

那个问题看似简单，然而许多人做过测验考试始末没有能找到谜底。因而，一群大学生就写信给其时年仅20岁的大数学家欧拉，请他阐发一下。欧拉从千百人次的失败中，以深邃的洞察力料想，也许底子不成能不反复地一次走遍那七座桥。为了证明 那种料想是准确的，欧拉用简单的几何图形来表达 陆地和桥。他是如许处理问题的：既然陆地是桥梁的毗连地点，无妨把图中被河离隔的陆地看成A、B、C、D 4个点，7座桥表达 成7条毗连那4个点的线，如图“七桥连线”所示。

七桥连线简化图

再把它简化成图形，就成了右图“七桥连线简化图”。

在说欧拉的推论前，我们先说说偶点和奇点的问题。

奇偶数点图

什么是偶点呢？一个点假设 有偶数条边，它就是偶点。如下面“奇偶数点图”的A、B、E、F点。反之，假设 一个点有奇条边数，它就是奇点。如图中的C、D那两点。

偶点和奇点与能不克不及一次通过那座桥有关系吗？别急，我们渐渐来说。

欧拉认为，假设 一个图能一笔划成，那么必然有一个起点起头画，也有一个起点。图上其它的点是“过路点”——画的时候要颠末它。

“过路点”有什么特征 呢？它应该是“有进有出”的点，有一条边进那点，那么就要有一条边出那点，不成能是有进无出或有出无进。假设 只进无出，它就是起点；假设 有出无进，它就是起点。因而，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。

假设 起点和起点是统一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因而必需是偶点，如许图上全体点都是偶点。

假设 起点和起点不是统一点，那么它们必需是奇点，因而那个图最多只能有二个奇点。

把上面所说的回 纳起来，说简单点就是：

能一笔划的图形只要两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只要二个奇点的图形。

如今比照 七桥问题的图，我们回过甚来看看图3，A、B、C、D四点都连着三条边，是奇数边，而且共有四个，所以那个图必定不克不及一笔划成。

欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的起头，同时也为拓扑学的研究供给了一个初等的例子。

事实上，中国民间很早就传播着那种一笔划的游戏，从持久理论的体味 ，人们晓得假设 图的点全数是偶点，能够肆意抉择 一个点做起点，一笔划成。假设 是有二个奇点的图形，那么就选一个奇点做起点以顺利的一笔划完。如果不信的话，你能够尝尝上图“奇偶数点图”，抉择 C、D两个奇点来画，必定能一笔划成。只是很可惜 ，持久以来，人们只把它做为一类有趣的游戏，没有对它引起重视，也没有数学家对它停止体味 总结和研究，那不克不及不说是一种遗憾。

欧拉闻名 的“七桥问题”的内容和谜底是什么

七桥问题

沿着俄国和波兰的鸿沟,有一条长长的布格河.那条河流经俄国的古城康尼斯堡——它就是今天俄罗斯西北鸿沟城市加里宁格勒.

布格河横贯康尼斯堡城区,它有两条收流,一条称新河,另一条喊 旧河,两河在城中心会合后,成为一条支流,喊 做大河.在新旧两河与大河之间,夹着一块岛形地带,那里是城市的富贵地域.全城分为北,东,南,岛四个区,各区之间共有七座桥梁联络着.

人们持久生活在河畔,岛上,来往于七桥之间.有人提出如许一个问题:能不克不及一次走遍所有的七座桥,而每座桥只准颠末一次 问题提出后,良多人对此很感兴致 ,纷繁停止试验,但在相当 长的时间里,始末未能处理.最初,人们只好把那个问题向俄国科学院院士欧拉提出,请他搀扶帮助 处理.

公元1737年,欧拉接到了"七桥问题",其时他三十岁.他心里想:先碰运气吧.他从中间的岛区动身,颠末一号桥抵达北区,又从二号桥回到岛区,过四号桥进进 东区,再经五号桥抵达南区,然后过六号桥回到岛区.如今,只剩下三号和七号两座桥没有通过了.显然,从岛区要过三号桥,只要先过一号,二号或四号桥,但那三座桥都走过了.那种走法宣告失败.欧拉又换了一种走法:

岛东北岛南岛北

那种走法仍是不可,因为五号桥还没有走过.

欧拉连试了好几种走法都不可,那问题可实不简单!他算了一下,走法良多,共有

7×6×5×4×3×2×1=5040(种).

好家伙,如许一种办法,一种办法试下往 ,要试到哪一天,才气得出谜底呢 他想:不克不及如许迟笨地试下往 ,得想此外办法.

伶俐的欧拉末于想出一个巧妙的办法 .他用A代表岛区,B,C,D别离 代表北,东,西三区,并用曲线弧或曲线段表达 七座桥,如许一来,七座桥的问题,就改变为数学分收"图论"中的一个一笔划问题,即能不克不及一笔头不反复地画出上面的那个图形.

欧拉集中精神研究了那个图形,发现中间每颠末一点,总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线.那就是说,除起点和起点以外,颠末中间各点的线一定是偶数.像上面那个图,因为是一个封锁的曲线,因而,颠末所有点的线都必需是偶数才行.而那个图中,颠末A点的线有五条,颠末B,C,D三点的线都是三条,没有一个是偶数,从而阐明 ,无论从那一点动身,最初总有一条线没有画到,也就是有一座桥没有走到.欧拉末于证明 了,要想一次不反复地走完七座桥,那是不成能的.

天才的欧拉只用了一步证明 ,就归纳综合了5040种差别的走法,从那里我们能够看到,数学的能力多么大呀!

假设 每座桥只能走一次，那么除了起点以外，当一小我由一座桥走到一块陆地时，那小我必需从别的一座桥分开那块陆地。那么对每块陆地来说，有一座进进 的桥就应该对应一座分开的桥。那么在每一块陆地毗连的桥数应该为偶数。

但七桥连出来是奇数，所以一小我不克不及一次走完七座桥。欧拉末于证明 了他的结论。

扩展材料：

欧拉的考虑十分重要，也十分巧妙，它正表白了数学家处置现实问题的特殊 之处——把一个现实问题笼统成适宜 的“数学模子”。那种研究办法就是“数学模子办法”。那其实不需要运用多么深邃的理论，但想到那一点，却是处理难题的关键 。

接下来，欧拉运用图中的一笔划定理为揣度 原则，很快地就揣度 出要一次不反复走遍哥尼斯堡的7座桥是不成能的。也就是说，几年来，人们费脑吃力觅 觅 的那种不反复的道路，底子就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是那么一个出人意表的谜底。

无解.没有那条线路

闻名 古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸毗连起来(如图)。问能否可能从那四块陆地中任一块动身，刚好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并处理了此问题，他把问题回 结为如下右图的“一笔划”问题，证明 上述走法是不成能的。 七桥问题Seven Bridges Problem 闻名 古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸毗连起来(如图)。问能否可能从那四块陆地中任一块动身，刚好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并处理了此问题，他把问题回 结为如下右图的“一笔划”问题，证明 上述走法是不成能的。 有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇毗连起来。本地居民热衷于一个难题：能否存在一条道路，可不反复地走遍七座桥。那就是柯尼斯堡七桥问题。L.欧拉用点表达 岛和陆地，两点之间的连线表达 毗连它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个收集，把七桥问题化成揣度 连通收集能否一笔划的问题。他不只处理了此问题，且给出了连通收集可一笔划的充要前提是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。 当Euler在1736年拜候Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现本地的市民正处置一项十分有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名喊 Pregel的河流横经此中，那项有趣的消遣活动是在礼拜六做一次走过所有七座桥的漫步，每座桥只能颠末一次并且起点与起点必需是统一地点。 Euler把每一块陆地考虑成一个点，毗连两块陆地的桥以线表达 。 后来推论出此种走法是不成能的。他的论点是如许的，除了起点以外，每一次当一小我由一座桥进进 一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥分开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点分开的线与最初回到始点的线亦计算两座桥，因而每一个陆地与其他陆地毗连的桥数必为偶数。 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因而上述的使命无法完成. 欧拉的那个考虑十分重要，也十分巧妙，它正表白了数学家处置现实问题的特殊 之处——把一个现实问题笼统成适宜 的“数学模子”。那种研究办法就是“数学模子办法”。那其实不需要运用多么深邃的理论，但想到那一点，却是处理难题的关键 。 接下来，欧拉运用收集中的一笔划定理为揣度 原则，很快地就揣度 出要一次不反复走遍哥尼斯堡的7座桥是不成能的。也就是说，几年来，人们费脑吃力觅 觅 的那种不反复的道路，底子就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是那么一个出人意表的谜底！ 1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文陈述中，论述了他的解题办法。他的巧解，为后来的数学新分收——拓扑学的成立奠基了根底。

谜底是无解的，你要记住，七桥问题即：能否笔不离纸，不反复地一笔划完全 个图形。“一笔划”问题，数学阐发：一笔划有起点和起点，起点和起点重合的图形称为封锁图形，不然便称为开放图形。除起点和起点外，一笔划中间可能呈现一些曲线的交点。只要当笔沿着一条弧线抵达交点后，又能沿着另一条弧线分开，也就是交汇于那些点的弧线成双成对时，一笔划才气完成，如许的交点就称为“偶点”。假设 交汇于那些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔划就不克不及实现，如许的点又喊 做“奇点” 结论：若是一个一笔划图形，要么只要两个奇点，也就是仅有起点和起点，如许一笔划成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是起点和起点毗连起来，如许一笔划成的图形是封锁的。因为七桥问题有四个奇点，所以要找到一条颠末七座桥，但每座桥只走一次的道路是不成能的。