让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；，第二步：算出a1的各位数字？

wolekan 01-08 2次浏览 0条评论

1、\( n_1 = 5 \)

2、计算\( a_1 = n_1^2 + 1 \)

- \( n_1^2 = 5^2 = 25 \)

- \( a_1 = 25 + 1 = 26 \)

\( a_1 = 26 \)。

我们来看\( a_1 = 26 \)的各位数字：

- 第一位数字是\( 2 \)

- 第二位数字是\( 6 \)

\( a_1 = 26 \)的各位数字是\( 2 \)和\( 6 \)。

让我们继续这个过程，看看下一个数字\( a_2 \)：

3、\( a_2 = a_1^2 + 1 \)

- \( a_1^2 = 26^2 = 676 \)

- \( a_2 = 676 + 1 = 677 \)

\( a_2 = 677 \)。

再来看看\( a_2 = 677 \)的各位数字：

- 第一位数字是\( 6 \)

- 第二位数字是\( 7 \)

- 第三位数字是\( 7 \)

\( a_2 = 677 \)的各位数字是\( 6 \)，\( 7 \)，和\( 7 \)。

我们来看第三个数字\( a_3 \)：

4、\( a_3 = a_2^2 + 1 \)

- \( a_2^2 = 677^2 = 458329 \)

- \( a_3 = 458329 + 1 = 458330 \)

\( a_3 = 458330 \)。

再来看看\( a_3 = 458330 \)的各位数字：

- 第一位数字是\( 4 \)

- 第二位数字是\( 5 \)

- 第三位数字是\( 8 \)

- 第四位数字是\( 3 \)

- 第五位数字是\( 3 \)

- 第六位数字是\( 0 \)

\( a_3 = 458330 \)的各位数字是\( 4 \)，\( 5 \)，\( 8 \)，\( 3 \)，\( 3 \)，和\( 0 \)。

我们看到，每次迭代后，\( a_n \)的各位数字都保持相同的模式，每次迭代后，\( a_n \)的各位数字都是由\( n \)的各位数字决定的。

由于\( 2010 \)的各位数字是\( 2 \)，\( 0 \)，和\( 1 \)，我们可以推断出\( 2010 \)是一个循环周期内的数字，在每个循环周期内，\( a_n \)的各位数字是固定的。

为了找到\( 2010 \)的第670个循环中的第3个数字，我们需要确定670是哪个循环周期中的数字，670除以循环周期长度（在这个例子中是3）得到余数。

670 \div 3 = 223 \text{ 余数 } 1

这意味着670是第224个循环周期中的第一个数字，在第224个循环周期中，\( a_n \)的各位数字仍然是由\( n \)的各位数字决定的。

由于\( n = 2010 \)的各位数字是\( 2 \)，\( 0 \)，和\( 1 \)，第224个循环周期中的第一个数字也是\( 2 \)。

\( a_{2010} \)的各位数字是\( 2 \)。

最终答案是：

\boxed{2}